4e – Mathématiques · Géométrie

Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Exercices corrigés de 4e pour calculer une longueur avec le théorème de Pythagore et démontrer qu’un triangle est rectangle avec sa réciproque.

5 exercices
45 min
Corrigé détaillé

L’essentiel à retenir

Théorème : si ABC est rectangle en A, alors $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ . Le côté [BC], opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse : c’est le plus long côté.
Réciproque : si dans un triangle ABC on a $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , alors le triangle est rectangle en A.
Si l’égalité n’est pas vérifiée (avec le plus long côté), le triangle n’est pas rectangle.

Exercice 1

Calculer l’hypoténuse

Pour commencer

Le triangle EFG est rectangle en E, avec EF = 9 cm et EG = 12 cm. Calcule FG.

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EFG est rectangle en E, donc d’après le théorème de Pythagore :

$F G^{2} = E F^{2} + E G^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$

$F G = 225 = 15$ cm.

Exercice 2

Calculer un côté de l’angle droit

Pour s’entraîner

Le triangle RST est rectangle en S, avec RT = 10 cm et RS = 6 cm. Calcule ST.

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RST est rectangle en S : l’hypoténuse est [RT]. D’après le théorème de Pythagore :

$R T^{2} = R S^{2} + S T^{2}$ , donc $S T^{2} = R T^{2} - R S^{2} = 100 - 36 = 64$ .

$S T = 64 = 8$ cm.

Exercice 3

Valeur approchée

Pour s’entraîner

Le triangle ABC est rectangle en B avec AB = 5 cm et BC = 7 cm. Calcule AC, arrondie au millimètre.

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$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 25 + 49 = 74$ , donc $A C = 74 \approx 8, 602$ .

$A C \approx 8, 6$ cm (arrondi au millimètre).

Exercice 4

Le triangle est-il rectangle ?

Pour s’entraîner

a) Triangle KLM : KL = 8 cm, LM = 17 cm, KM = 15 cm.

b) Triangle PQR : PQ = 6 cm, QR = 9 cm, PR = 11 cm.

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a) Le plus long côté est [LM]. $L M^{2} = 289$ et $K L^{2} + K M^{2} = 64 + 225 = 289$ . L’égalité est vraie, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, KLM est rectangle en K.

b) Le plus long côté est [PR]. $P R^{2} = 121$ et $P Q^{2} + Q R^{2} = 36 + 81 = 117$ . Comme $121 \neq = 117$ , PQR n’est pas rectangle.

Exercice 5

Problème : l’échelle

Pour aller plus loin

Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 1,4 m du mur, sur un sol horizontal.

À quelle hauteur le haut de l’échelle touche-t-il le mur ?

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Le mur et le sol forment un angle droit : on a un triangle rectangle dont l’hypoténuse est l’échelle (5 m).

$h^{2} = 5^{2} - 1, 4^{2} = 25 - 1, 96 = 23, 04$ , donc $h = 23, 04 = 4, 8$ m.

L’échelle touche le mur à 4,8 m de hauteur.