Première – Mathématiques · Second degré

Second degré : discriminant, racines et signe

Exercices corrigés de Première (spécialité mathématiques) sur les polynômes du second degré : forme canonique, discriminant, racines, factorisation et signe.

5 exercices
55 min
Corrigé détaillé

L’essentiel à retenir

Pour $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ , le discriminant est $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Si $Δ > 0$ : deux racines $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$ , et $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Si $Δ = 0$ : une racine double $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ . Si $Δ < 0$ : pas de racine réelle.
$f (x)$ est du signe de $a$ , sauf entre les racines (quand elles existent).

Exercice 1

Calculer le discriminant

Pour commencer

Résous dans $R$ : a) $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ b) $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ c) $2 x^{2} + x + 3 = 0$

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a) $Δ = 25 - 24 = 1 > 0$ . $x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ . $S = {2; 3}$ .

b) $Δ = 16 - 16 = 0$ . Racine double $x_{0} = - \frac{4}{8} = - \frac{1}{2}$ . $S = {- \frac{1}{2}}$ .

c) $Δ = 1 - 24 = - 23 < 0$ . Pas de solution réelle : $S = \emptyset$ .

Exercice 2

Forme canonique

Pour s’entraîner

Soit $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

1) Écris $f (x)$ sous forme canonique. 2) Déduis-en le sommet de la parabole et le minimum de $f$ .

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1) $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ , donc $f (x) = (x - 3)^{2} - 9 + 5 = (x - 3)^{2} - 4$ .

2) Le sommet est $S (3; - 4)$ . Comme $a = 1 > 0$ , la parabole est tournée vers le haut : le minimum de $f$ est $- 4$ , atteint en $x = 3$ .

Exercice 3

Factoriser

Pour s’entraîner

Factorise $g (x) = 2 x^{2} - 2 x - 12$ .

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$Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 2 \times (- 12) = 4 + 96 = 100$ , $Δ = 10$ .

$x_{1} = \frac{2 - 10}{4} = - 2$ et $x_{2} = \frac{2 + 10}{4} = 3$ .

$g (x) = 2 (x + 2) (x - 3)$ .

Exercice 4

Inéquation du second degré

Pour s’entraîner

Résous $- x^{2} + x + 6 \geq 0$ .

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$Δ = 1 + 24 = 25$ . Racines : $x_{1} = \frac{- 1 - 5}{- 2} = 3$ et $x_{2} = \frac{- 1 + 5}{- 2} = - 2$ .

$a = - 1 < 0$ : le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles.

$S = [- 2; 3]$ .

Exercice 5

Problème : l’enclos

Pour aller plus loin

Avec 40 m de grillage, on veut clôturer un enclos rectangulaire le long d’un mur (le côté contre le mur n’a pas besoin de grillage). On note $x$ la largeur, perpendiculaire au mur.

1) Montre que l’aire est $A (x) = x (40 - 2 x)$ .

2) Pour quelle valeur de $x$ l’aire est-elle maximale ? Quelle est cette aire ?

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1) Les deux largeurs utilisent $2 x$ mètres ; il reste $40 - 2 x$ pour la longueur. Donc $A (x) = x (40 - 2 x)$ , avec $0 < x < 20$ .

2) $A (x) = - 2 x^{2} + 40 x$ . C’est un trinôme avec $a = - 2 < 0$ : le maximum est atteint en $x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{40}{- 4} = 10$ .

$A (10) = 10 \times 20 = 200$ . L’aire maximale est 200 m², pour un enclos de 10 m sur 20 m.