Seconde – Mathématiques · Fonctions

Fonctions affines : expression, représentation et signe

Exercices corrigés de Seconde sur les fonctions affines : coefficient directeur, droite passant par deux points, variations et tableau de signes.

L’essentiel à retenir

Une fonction affine s’écrit $f (x) = m x + p$ . Sa courbe est une droite de coefficient directeur $m$ et d’ordonnée à l’origine $p$ .
Si la droite passe par $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ avec $x_{A} \neq = x_{B}$ : $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .
Si $m > 0$ , $f$ est croissante ; si $m < 0$ , $f$ est décroissante ; si $m = 0$ , $f$ est constante.
Pour $m \neq = 0$ , $f (x)$ s’annule en $x = - \frac{p}{m}$ et a le signe de $m$ à droite de cette valeur.

Exercice 1

Pour commencer

Pour chaque fonction, donne $m$ et $p$ , puis son sens de variation.

$f (x) = 3 x - 2$ $g (x) = - \frac{1}{2} x + 4$ $h (x) = 5 - x$ $k (x) = 7$

Voir le corrigé

$f$ : $m = 3$ , $p = - 2$ ; $m > 0$ donc $f$ est croissante.

$g$ : $m = - \frac{1}{2}$ , $p = 4$ ; décroissante.

$h$ : $h (x) = - x + 5$ , donc $m = - 1$ , $p = 5$ ; décroissante.

$k$ : $m = 0$ , $p = 7$ ; constante.

Exercice 2

Pour s’entraîner

Détermine la fonction affine $f$ telle que $f (1) = 5$ et $f (4) = - 1$ .

Voir le corrigé

$m = \frac{f ( 4 ) - f ( 1 )}{4 - 1} = \frac{- 1 - 5}{3} = - 2$ .

Donc $f (x) = - 2 x + p$ . Avec $f (1) = 5$ : $- 2 + p = 5$ , d’où $p = 7$ .

$f (x) = - 2 x + 7$ . Vérification : $f (4) = - 8 + 7 = - 1$ .

Exercice 3

Pour s’entraîner

Dresse le tableau de signes de $f (x) = - 3 x + 6$ , puis résous $f (x) > 0$ .

Voir le corrigé

$- 3 x + 6 = 0 ⟺ x = 2$ . Comme $m = - 3 < 0$ , $f (x)$ est positive avant 2 et négative après.

$x$	$- \infty$		$2$		$+ \infty$
$f (x)$		$+$	$0$	$-$

$f (x) > 0 ⟺ x \in] - \infty; 2 [$ .

Exercice 4

Pour s’entraîner

Soient $f (x) = 2 x - 1$ et $g (x) = - x + 5$ . Détermine les coordonnées du point d’intersection de leurs courbes.

Voir le corrigé

On résout $f (x) = g (x)$ : $2 x - 1 = - x + 5 ⟺ 3 x = 6 ⟺ x = 2$ .

$f (2) = 3$ . Le point d’intersection est $I (2; 3)$ . (Vérification : $g (2) = - 2 + 5 = 3$ .)

Exercice 5

Pour aller plus loin

Une salle de sport propose deux formules : formule A, 12 € par séance ; formule B, abonnement de 60 € puis 7 € par séance.

1) Exprime le coût $A (x)$ et le coût $B (x)$ pour $x$ séances.

2) À partir de combien de séances la formule B est-elle strictement plus avantageuse ?

Voir le corrigé

1) $A (x) = 12 x$ et $B (x) = 7 x + 60$ .

2) $B (x) < A (x) ⟺ 7 x + 60 < 12 x ⟺ 60 < 5 x ⟺ x > 12$ .

La formule B est strictement plus avantageuse à partir de 13 séances (pour 12 séances, les deux coûtent 144 €).