Seconde – Mathématiques · Équations et inéquations

Équations et inéquations du premier degré

Exercices corrigés de Seconde pour résoudre équations et inéquations du premier degré, écrire les solutions en intervalles et résoudre des problèmes.

L’essentiel à retenir

On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inéquation sans changer le sens.
Multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens ; par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.
Les solutions s’écrivent souvent sous forme d’intervalle : $x \geq 3$ s’écrit $x \in [3; + \infty [$ .

Exercice 1

Pour commencer

Résous : a) $5 x - 7 = 13$ b) $3 (x + 2) = x - 4$ c) $\frac{x}{4} + 1 = \frac{x}{2}$

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a) $5 x = 20 ⟺ x = 4$ .

b) $3 x + 6 = x - 4 ⟺ 2 x = - 10 ⟺ x = - 5$ .

c) On multiplie par 4 : $x + 4 = 2 x ⟺ x = 4$ .

Exercice 2

Pour commencer

Traduis par un intervalle : a) $x < 2$ b) $- 1 \leq x < 5$ c) $x \geq - 3$

Voir le corrigé

a) $] - \infty; 2 [$ b) $[- 1; 5 [$ c) $[- 3; + \infty [$

Le crochet est tourné vers l’intérieur quand la borne est incluse.

Exercice 3

Pour s’entraîner

Résous et donne l’ensemble des solutions.

a) $4 x + 3 > 11$ b) $- 2 x + 5 \leq 9$ c) $3 - x < 2 x + 12$

Voir le corrigé

a) $4 x > 8 ⟺ x > 2$ . $S =] 2; + \infty [$ .

b) $- 2 x \leq 4 ⟺ x \geq - 2$ (on divise par $- 2$ : le sens change). $S = [- 2; + \infty [$ .

c) $- 3 x < 9 ⟺ x > - 3$ . $S =] - 3; + \infty [$ .

Exercice 4

Pour s’entraîner

Un élève écrit : « $- 5 x < 15$ , donc $x < - 3$ . » Corrige-le et teste ta réponse avec $x = 0$ .

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En divisant par $- 5$ (négatif), il faut changer le sens : $x > - 3$ .

Test avec $x = 0$ : $- 5 \times 0 = 0 < 15$ est vrai, et $0 > - 3$ est bien vrai, alors que $0 < - 3$ est faux.

Exercice 5

Pour aller plus loin

Lina a obtenu 9 et 12 à ses deux premiers contrôles de coefficient 1. Le troisième contrôle a le coefficient 2.

Quelle note minimale doit-elle avoir au troisième contrôle pour que sa moyenne soit au moins égale à 12 ?

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Soit $x$ la note. La moyenne vaut $\frac{9 + 12 + 2 x}{4}$ .

$\frac{21 + 2 x}{4} \geq 12 ⟺ 21 + 2 x \geq 48 ⟺ 2 x \geq 27 ⟺ x \geq 13, 5$ .

Lina doit obtenir au moins 13,5 / 20.